深度学习准备「爆破」著名的欧拉方程

来源：ScienceAI

编辑：绿萝

250 多年来，数学家一直试图「爆破」物理学中一些最重要的方程：那些描述流体如何流动的方程。如果他们成功了，那么他们将会发现一种情况，在这种情况下，这些方程会被打破——可能是一个无限快旋转的漩涡，或者是一个突然停止和开始的电流，或者是一个粒子以无限快的速度掠过它的邻居。超出那个爆炸点——「奇点」——方程将不再有解。它们甚至无法描述我们生活的世界的理想化版本，数学家将有理由怀疑它们作为流体行为模型的普遍可靠性。

但是奇点可能和它们要描述的流体一样滑。为了找到一个，数学家经常采用控制流体流动的方程，将它们输入计算机，然后运行数字模拟。他们从一组初始条件开始，然后观察直到某个量的值——例如速度，或者涡度（一种旋转的度量）——开始疯狂增长，似乎正处于爆炸的轨道上。

然而，计算机不能明确地发现一个奇点，原因很简单，它们不能处理无限值。如果存在奇点，计算机模型可能会接近方程爆炸的点，但他们永远无法直接看到它。事实上，当使用更强大的计算方法进行探测时，明显的奇点已经消失。

然而，这种近似仍然很重要。有了它，数学家可以使用一种称为计算机辅助证明的技术来证明真正的奇点存在于附近。他们已经为问题的简化的一维版本做到了。

在今年早些时候在线发布的预印本中，一个由数学家和地球科学家组成的团队发现了一种近似奇点的全新方法——一种利用最近开发的深度学习形式的方法。使用这种方法，他们能够直接观察奇点。他们还用它来寻找传统方法无法解决的奇点，希望证明这些方程并不像看起来那样可靠。

论文地址：https://arxiv.org/abs/2201.06780

这项工作发起了一场破坏流体方程的竞赛：一方面是深度学习团队；另一方面，多年来一直在使用更成熟的技术的数学家。无论谁可能赢得比赛——如果有人确实能够到达终点线——结果都表明，神经网络可以如何帮助人们为许多不同的问题寻找新的解决方案。

消失的「爆破」

1757 年，Leonhard Euler 写下了这项新工作核心的方程式，用于描述理想的不可压缩流体的运动——一种没有粘性或内摩擦的流体，并且不能被压缩到更小的体积中。（像自然界中发现的许多流体一样，确实具有粘性的流体是由纳维-斯托克斯方程建模的；炸毁它们将获得克雷数学研究所 100 万美元的千禧年大奖难题。）流体在某个起点，欧拉方程应该一直预测流体的流动。

但是数学家想知道在某些情况下——即使起初似乎没有什么不对——方程最终会遇到麻烦。

2013 年，两位数学家提出了这样一个场景。由于全三维流体流动的动力学可能变得异常复杂，加州理工学院的数学家 Thomas Hou 和现就职于香港恒生大学的 Guo Luo，认为流动服从某种对称性。

在他们的模拟中，流体在圆柱形杯内旋转。杯子上半部的流体顺时针旋转，而下半部逆时针旋转。相反的流动导致形成其他复杂的上下循环的电流。很快，在相反流动相交的边界上的一点，流体的涡度就会爆炸。

虽然这个证明提供了令人信服的奇点证据，但没有证据就不可能确定它是一个奇点。在 Hou 和 Luo 工作之前，许多模拟都提出了潜在的奇点，但后来在更强大的计算机上进行测试时，大部分都消失了。「你认为有一个，」明尼苏达大学的数学家 Vladimir Sverak 说。「然后你把它放在一台分辨率更高的更大的计算机上，不知何故，原本你以为存在的奇点却不见了。」

那是因为这些解决方案可能很挑剔。它们很容易受到小的、看似微不足道的错误的影响，这些错误会随着模拟的每个时间步而累积。普林斯顿大学的数学家 Charlie Fefferman 说：「尝试在计算机上对欧拉方程进行良好的模拟是一门微妙的艺术。这个方程对解的小数点后 38 位的微小错误非常敏感。」

尽管如此，Hou 和 Luo 对奇点的近似解仍然经受住了迄今为止对其进行的所有测试，并且它激发了许多相关工作，包括对该问题较弱版本的爆炸的完整证明。「这是迄今为止奇点形成的最佳方案，」Sverak 说。「很多人，包括我自己，都相信这一次是真正的奇点。」

为了充分证明欧拉方程已被爆破，数学家需要证明，给定近似的奇点，附近存在一个真正的奇点。他们可以用精确的数学术语重写那个陈述——一个真正的解决方案存在于一个足够接近近似的邻域中——然后证明如果某些属性可以得到验证，它是正确的。然而，验证这些属性需要再次使用计算机：这一次，执行一系列计算（包括近似解），并仔细控制过程中可能累积的错误。

Hou 和他的研究生 Jiajie Chen 多年来一直致力于计算机辅助证明。他们从 2013 年开始改进了近似解（他们尚未公开的中间结果），现在正在使用该近似作为他们新证明的基础。他们还表明，这种通用策略可以解决比欧拉方程更容易解决的问题。

现在另一群人也加入了狩猎。他们使用完全不同的方法找到了自己的近似值——与Hou 和 Luo 的结果非常相似。他们目前正在使用它来编写自己的计算机辅助证明。然而，为了获得近似值，他们首先需要转向一种新的深度学习形式。

冰川神经网络

普林斯顿大学数学家、高等研究院访问学者 Tristan Buckmaster 遇到这种新方法纯属偶然。去年，他所在系的本科生 Charlie Cowen-Breen 要求他签署一个项目。Cowen-Breen 一直在普林斯顿地球物理学家 Ching-Yao Lai 的监督下研究南极洲的冰盖动力学。利用卫星图像和其他观测，他们试图推断冰的粘度并预测其未来的流动。但要做到这一点，他们依赖于 Buckmaster 以前从未见过的深度学习方法。

与传统的神经网络不同，传统的神经网络需要对大量数据进行训练才能做出预测，「物理信息神经网络」（PINN）还必须满足一组潜在的物理约束。这些可能包括运动定律、能量守恒定律、热力学——科学家可能需要为他们试图解决的特定问题进行编码。

将物理学注入神经网络有几个目的。一方面，它允许网络在可用数据非常少的情况下回答问题。它还使 PINN 能够推断原始方程中的未知参数。在很多物理问题中，「我们大致知道方程应该是什么样子，但我们不知道 [某些] 项的系数应该是什么，」Lai 实验室的博士后研究员、新论文的合著者之一Yongji Wang 指出。Lai 和 Cowen-Breen 试图确定的参数就是这种情况。

「我们称之为隐藏流体力学，」布朗大学应用数学家 George Karniadakis 说，他在 2017 年开发了第一个 PINN。

Cowen-Breen 的请求引起了 Buckmaster 的思考。求解具有圆柱边界的欧拉方程的经典方法——正如Hou、Luo 和 Chen 所做的那样——涉及时间的艰苦进程。但是由于对时间的依赖，他们只能非常接近奇点而永远无法到达它：随着他们越来越接近可能看起来像无穷大的东西，计算机的计算将变得越来越不可靠，以至于他们无法真正看到爆破本身的点。

但是欧拉方程可以用另一组方程来表示，通过一个技术技巧，把时间抛到一边。Hou 和 Luo 在 2013 年的结果不仅以确定一个非常精确的近似解而著称。他们发现的解决方案似乎也具有一种特殊的「自相似」结构。这意味着随着模型的发展，它的解决方案遵循一定的模式：它后来的形状看起来很像它的原始形状，只是更大了。

这一特征意味着数学家可以专注于奇点发生之前的时间。如果他们以适当的速度放大那张快照——就好像他们在具有不断调整的放大倍率设置的显微镜下观察它一样——他们可以模拟稍后会发生的事情，直到奇点本身。同时，如果他们以这种方式重新调整事物，那么在这个新系统中实际上不会出现任何严重错误，并且他们可以消除处理无限值的任何需要。「它只是接近了一个很好的极限，」Fefferman 说，这个极限代表了方程的时间相关版本中爆发的发生。

「对这些 [re-scaled] 函数进行建模更容易，」Sverak 说。「因此，如果您可以使用 [自相似] 函数来描述奇点，那将是一个很大的优势。」

从左到右分别是：数学家 Tristan Buckmaster 和 Javier Gómez Serrano，地球物理学家 Cheng Yao Lai 和 Yongji Wang。他们合作使用基于物理的神经网络来研究欧拉方程的爆破。

问题在于，要实现这一点，数学家不仅仅需要求解通常参数（例如速度和涡度）的方程（现在用自相似坐标编写）。方程本身也有一个未知参数：控制放大率的变量。它的值必须恰到好处，以确保方程的解对应于问题的原始版本中的放大解。

数学家将不得不同时向前和向后求解方程——这是使用传统方法实现的一项困难甚至不可能的任务。

但找到这些解决方案正是 PINN 的设计目的。

「爆破」之路

回想起来， Buckmaster 说，「这似乎是一件显而易见的事情。」

He、Lai、Wang 和 Javier Gómez-Serrano（他是布朗大学和巴塞罗那大学的数学家），建立了一套物理约束来帮助指导他们的 PINN：与对称性和其他属性相关的条件，以及他们想要求解的方程（他们使用了一组 2D 方程，使用自相似坐标重写，已知它们在接近圆柱边界的点处等效于 3D Euler 方程）。

然后，他们训练神经网络搜索满足这些约束的解决方案以及自相似参数。「这种方法非常灵活，」Lai 说。「只要施加正确的约束，您总能找到解决方案。」 （事实上，该小组通过在其他问题上测试该方法来展示这种灵活性。）

该团队的答案看起来很像 Hou 和 Luo 在 2013 年得出的解决方案。但数学家希望他们的近似能够更详细地描绘正在发生的事情，因为这是第一次直接计算出这个问题的自相似解。Sverak 表示 ：「新的研究结果更精确地说明了奇点是如何形成的」，即某些值会如何达到爆破点，以及方程将如何崩溃。

Buckmaster 指出：「在没有神经网络的情况下，你很难证明你是真的在捕捉奇点的本质。很明显，这项研究所用的方法是比传统方法要容易得多。」

Gómez-Serrano 对此表示同意，他说：「这在未来将成为人们手边的一种标准工具」。

PINNs 再一次揭示了 Karniadakis 所说的「隐藏流体力学」，只是这一次，他们用 PINNs 在更具理论性的问题上取得了进展。Karniadakis 说：「我还没见过有人用 PINNs 来做这件事。」

这不是数学家兴奋的唯一原因。PINN 也可能非常适合寻找传统数值方法几乎不可见的另一种奇点。这些「不稳定」奇点可能是某些流体动力学模型中唯一存在的奇点，包括没有圆柱边界的欧拉方程（求解起来已经复杂得多）和纳维-斯托克斯方程。「不稳定的事情确实存在。那为什么不找他们呢？」普林斯顿大学的数学家 Peter Constantin 说。

但即使对于经典技术可以处理的稳定奇点，PINN 为具有圆柱边界的欧拉方程提供的解「是定量和精确的，并且更有可能变得严谨，」Fefferman 说。「现在有了一个通往证明的路线图。这将需要大量的工作。这将需要很多技巧。我想这需要一些独创性。但我不认为这需要天才。我认为这是可行的。」

Buckmaster 的团队现在正在与 Hou 和 Chen 争夺最先到达终点线。Hou 和 Chen 领先一步：据 Hou 说，他们在过去几年中在改进近似解和完成证明方面取得了实质性进展——他怀疑 Buckm aster 和他的同事必须先完善他们的近似解 得到他们自己的工作证明。「几乎没有出错的余地，」Hou 说。

也就是说，许多专 家希望 250 年来破解欧拉方程的努力即将结束。Sverak 说：「从概念上讲，我认为……所有重要的部分都已到位，只是很难确定细节。」

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